Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（

1

2

）^x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：先利用已知f（x）是定义在R上的偶函数求出在区间[0，2]上的解析式，再利用周期性f（x）=f（x+4）求出函数f（x）在区间[2，4]上的解析式，然后在画出图象，进而求出a的取值范围．

解答： 解：设x∈[0，2]，则-x∈[-2，0]，∴f（-x）=（

1

2

）^-x-1=2^x-1，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（-x）=2^x-1．
∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），
∴当x∈[2，4]时，（x-4）∈[-2，0]，∴f（x）=f（x-4）=x^x-4-1；
当x∈[4，6]时，（x-4）∈[0，2]，∴f（x）=f（x-4）=2^x-4-1．
∵若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，
∴函数y=f（x）与函数y=log_a（x+2）在区间（-2，6]上恰有三个交点，
通过画图可知：恰有三个交点的条件是

loga(6+2)＞3 loga(2+2)＜3

，解得 2

2

3

＜a＜2，
即

3	4

＜a＜2，因此所求的a的取值范围为（

3	4

，2）．
故答案为：（

3	4

，2）．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、函数的交点及方程的根，熟练掌握函数的性质及数形结合是解决问题的关键．