Question

已知平面向量

a

，

b

满足|

a

|=1，

b

与

a

-

b

的夹角是120°，则

b

²-(

a

•

b

)2的最大值是

 

．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由题意可得

b

²-(

a

•

b

)2=

b

2•sin²θ．设

OA

=

a

，

OB

=

b

，则

BA

=

.

a

-

b

，由题意可得∠OBA=60°，由正弦定理求得

b

2=

4

3

sin²（120°-θ），把要求的式子化为

4

3

[

1

2

sin(2θ-

π

6

)+

1

4

]2，再利用正弦函数的值域，求得它的最大值．

解答： 解：设向量

a

与

b

的夹角为θ，则由题意可得

a

•

b

=1×|

b

|×cosθ=|

b

|×cosθ．
则

b

²-(

a

•

b

)2=

b

²-

b

2cos²θ=

b

2（1-cos²θ）=

b

2•sin²θ．
设

OA

=

a

，

OB

=

b

，则

BA

=

.

a

-

b

，由题意可得∠OBA=60°，
∠AOB=θ，如图所示：
△OAB中，由正弦定理可得

1

sin60°

=

| b |

sin(120°-θ)

，
∴

b

2=

4

3

sin²（120°-θ），
∴要求的式子即

b

2•sin²θ=

4

3

sin²（120°-θ）•sin²θ
=

4

3

[

3

2

sinθcosθ+

1

2

 sinθsinθ]2=

4

3

 [

3

4

sin2θ-

1

4

cos2θ+

1

4

]2 
=

4

3

[

1

2

sin(2θ-

π

6

)+

1

4

]2≤

4

3

×(

1

2

+

1

4

)2=

3

4

，
故答案为：

3

4

．

点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，正弦函数的值域，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．