Question

已知f（x）=2lnx-

1

x

，对于任意的x₁，x₂∈（0，+∞），有|f（x₁）-f（x₂）|≥m|

1

x1

-

1

x2

|，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：利用函数f（x）的单调性，去掉绝对值，构造函数g（x）=f（x）+

m

x

，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：函数f（x）=2lnx-

1

x

，在x＞0时，单调递增，
∵任意的x₁，x₂∈（0，+∞），
∴当x₁=x₂时，不等式恒成立，
不妨设任意的x₁＞x₂，则f（x₁）＞f（x₂），

1

x1

-

1

x2

＜0，
则不等式等价为f（x₁）-f（x₂）≥-m（

1

x1

-

1

x2

），
即f（x₁）+

m

x1

≥f（x₂）+

m

x2

，
令g（x）=f（x）+

m

x

，则f（x₁）+

m

x1

≥f（x₂）+

m

x2

，等价为g（x₁）≥g（x₂），
即函数g（x）=f（x）+

m

x

=2lnx-

1

x

+

m

x

单调递增即可，
即g′（x）≥0在x＞0恒成立，
即g′（x）=

2

x

+

1

x2

-

m

x2

=

2x+1-m

x2

≥0，
则m≤2x+1恒成立，
∵x＞0，∴2x+1＞1，
则m≤1，
故答案为：m≤1．

点评：本题主要考查函数单调性的应用，利用函数单调性和导数之间的关系，构造函数是解决本题的关键．