Question

设函数y=sin（

π

2

x+

π

3

），若对任意x∈R，存在x₁，x₂使f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，则|x₁-x₂|的最小值是

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：由已知可知f（x₁）是f（x）中最小值，f（x₂）是值域中的最大值，它们分别在最高和最低点取得，它们的横坐标最少相差半个周期，由三角函数式知周期的值，结果是周期的值的一半．

解答： 解：∵对任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴f（x₁）和f（x₂）分别是函数的最大值和最小值，
∴|x₁-x₂|的最小值为函数的半个周期，
∵T=

2π

π 2

=4，
∴|x₁-x₂|的最小值为2，
故答案为：2．

点评：本题是对函数图象的考查，只有熟悉三角函数的图象，才能解决好这类问题，同时，其他的性质也要借助三角函数的图象解决，本章是数形结合的典型．