Question

数列{a_n}满足：na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=（

9

10

）^n-1+（

9

10

）^n-2+…+

9

10

+1（n=1，2，3…）
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求a_n的通项公式；
（3）若b_n=-（n+1）a_n，试问是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有b_n≤b_k成立？若存在求出k的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）令n=1，2，3即可求a₁，a₂，a₃的值；
（2）根据a_n=S_n-S_n-1的关系，即可求a_n的通项公式；
（3）求出b_n=-（n+1）a_n，讨论b_n≤b_k，即可得到结论．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=1，
当n=2时，2+a₂=

9

10

+1，则a₂=-

1

10

，
当n=3时，3a₁+2a₂+a₁=（

9

10

）²+

9

10

+1，
则a₃=-

9

100

．
（2）由na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=（

9

10

）^n-1+（

9

10

）^n-2+…+

9

10

+1，
得（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+2a_n-2+a_n-1=（

9

10

）^n-2+（

9

10

）^n-3+…+

9

10

+1，
两式相减得a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=（

9

10

）^n-1=S_n．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-

1

10

•(

9

10

)n-2，
当n=1时，a₁=1不满足a_n=-

1

10

•(

9

10

)n-2，
则a_n=

1，n=1 - 1 10 •( 9 10 )n-2，n≥2

．
（3）∵a_n=

1，n=1 - 1 10 •( 9 10 )n-2，n≥2

．
∴b_n=-（n+1）a_n=

-2，n=1 n+1 10 •( 9 10 )n-2，n≥2

，
假设存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有b_n≤b_k成立，
当n=1时，b₂-b₁=

23

10

＞0，则b₂＞b₁，
当n≥2时，b_n+1-b_n=(

9

10

)n-2•

8-n

100

，
当n＜8时，b_n+1＞b_n，
当n=8时，b_n+1=b_n，
当n＞8时，b_n+1＜b_n，
故存在正整数k=8或9，使得对于任意的正整数n，都有b_n≤b_k成立．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，以及数列和不等式的综合应用，根据a_n=S_n-S_n-1的关系，求a_n的通项公式是解决本题的关键．