Question

数列{a_n}满足a_n＞0，S_n=

m

2

（a_n+

1

an

），其中m=

∫

π 6 0

2cosxdx．
（1）求S₁，S₂，S₃，猜想S_n；
（2）请用数学归纳法证明之．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用数列的赋值思想，由定积分得到m=1，则可以得到a_n＞0，S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），借助于通项公式与前n项和关系求解前几项的和．
（2）猜想得到通项公式．运用数学归纳法加以证明即可．

解答： 解：（1）易得：m=1．∵a_n＞0，∴S_n＞0，
由S₁=

1

2

（a₁+

1

a1

），变形整理得S₁²=1，取正根得S₁=1．
由S₂=

1

2

（a₂+

1

a2

），及a₂=S₂-S₁=S₁-1得S₂=

1

2

（S₂-1+

1

S2-1

），
变形整理得S₂²=2，取正根得S₂=

2

，
同理可求得S₃=

3

．由此猜想S_n=

n

．…（5分）
（2）用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，上面已求出S₁=1，结论成立．…（7分）
②假设当n=k时，结论成立，即S_k=

k

．
则n=k+1时，S_k+1=

1

2

（a_k+1+

1

ak+1

）=

1

2

（S_k+1-S_k+

1

Sk+1-Sk

）=

1

2

（S_k+1-

k

+

1

Sk+1- k

）．
整理得S_k+1²=k+1，取正根得S_k+1=

k+1

．
故当n=k+1时，结论成立．…（12分）
由①、②可知，对一切n∈N₊，S_n=

n

都成立．…（13分）

点评：本题考查赋值思想，归纳推理以及数学归纳法的证明方法，考查分析问题解决问题的能力．