Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，n∈N₊，数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=n（3-b_n），数列c_n=n（3-b_n）的前n项和为T_n，求证：T_n＜8；
（3）设数列{d_n}满足d_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•

1

an

（n∈N₊），若数列{d_n}是递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a₁=1.

an+1

an

=

1

2

（n≥2），从而求出a_n=（

1

2

）^n-1．b_n+1-b_n=（

1

2

^）n-1．利用叠加法能求出b_n=3-（

1

2

）^n-2．
（2）由c_n=n（3-b_n）=2n（

1

2

）^n-1．利用错位相减法求出T_n=8-

8+4n

2n

，从而得到T_n＜8．
（3）由（1）知dn=4n+(-1)n-1•λ•

1

an

=4ⁿ+（-1）ⁿ•λ•2^n-1，由数列{d_n}是递增数列，得到（-1）ⁿ•λ＞-2ⁿ⁺¹对?n∈N^*恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．

解答： 解：（1）∵n=1时，a₁+S₁=a₁+a₁=2，∴a₁=1．
∵S_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，∴a_n+1+S_n+1=2．
两式相减：a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0．
即a_n+1-a_n+a_n+1=0，故有2a_n+1=a_n，
∵a_n≠0，∴

an+1

an

=

1

2

（n≥2），
∴a_n=（

1

2

）^n-1．…（2分）
∵b_n+1=b_n+a_n（n=1，2，3，…），∴b_n+1-b_n=（

1

2

^）n-1．
得b₂-b₁=1，b₃-b₂=

1

2

，b₄-b₃=（

1

2

）²，…，b_n-b_n-1=（

1

2

）^n-2（n=2，3，…）．
将这n-1个等式相加，得
b_n-b₁=1+

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）^n-2
=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=2-（

1

2

）^n-2．
又∵b₁=1，∴b_n=3-（

1

2

）^n-2（n=1，2，3…）．…（4分）
（2）证明：∵c_n=n（3-b_n）=2n（

1

2

）^n-1．
∴T_n=2[(

1

2

)0+2×(

1

2

)+3×(

1

2

)2+…+n×(

1

2

)n-1]，①

1

2

Tn=2[(

1

2

)+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n]，②
①-②得：

1

2

T_n=2[(

1

2

)0+(

1

2

)+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-2×n×(

1

2

)n，
∴T_n=4×

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-4×n×（

1

2

）ⁿ=8-

8

2n

-4×n×（

1

2

）ⁿ
=8-

8+4n

2n

（n=1，2，3，…）． …（8分）
∴T_n＜8．…（9分）
（3）由（1）知dn=4n+(-1)n-1•λ•

1

an

=4ⁿ+（-1）ⁿ•λ•2^n-1，
由数列{d_n}是递增数列，∴对?n∈N^*，d_n+1＞d_n恒成立，
即d_n+1-d_n=4ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ-4ⁿ-（-1）^n-1•λ•2^n-1
=3•4ⁿ+（-1）ⁿ•λ•3•2^n-1＞0对?∈NN^*恒成立，
即（-1）ⁿ•λ＞-2ⁿ⁺¹对?n∈N^*恒成立，…（11分）
当n为奇数时，即λ＜2ⁿ⁺¹恒成立，∴λ＜4，…（12分）
当n为偶数时，即λ＞-2ⁿ⁺¹恒成立，∴λ＞-8，…（13分）
综上实数λ的取值范围为（-8，4）．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．