Question

设a＞0，函数f（x）=x+

a

x

，g（x）=e^x-1，若对任意的x₁，x₂∈（0，1]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：对任意的x₁，x₂∈（0，1]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，等价于f（x）_min≥g（x）_max，由单调性易求g（x）_max，分0＜a≤1，a＞1两种情况讨论，0＜a≤1时利用基本不等式可求f（x）_min，a＞1时，由导数可求f（x）_min．

解答： 解：对任意的x₁，x₂∈（0，1]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，等价于f（x）_min≥g（x）_max，
∵g（x）=e^x-1在（0，1]上单调递增，∴g（x）_max=g（1）=e-1；
当0＜a≤1时，f（x）=x+

a

x

≥2

x• a x

=2

a

，当且仅当x=

a

时取等号，
∴f(x)min=2

a

，
由2

a

≥e-1解得1≥a≥

(e-1)2

4

．
当a＞1时，f′（x）=1-

a

x2

＜0，f（x）在（0，1]上递减，
∴f（x）_min=f（1）=1+a．
由1+a≥e-1解得a≥e-2，∴a＞1．
综上，a的取值范围是a≥

(e-1)2

4

，
故答案为：a≥

(e-1)2

4

点评：该题考查函数恒成立问题，恒成立问题戊烷转化为函数最值解决，基本不等式、导数是求函数最值的常用方法，要熟练掌握．