Question

10．已知函数f（x）=3mx-$\frac{1}{x}$-（3+m）lnx，若对任意的m∈（4，5），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（a-ln3）m-3ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，则实数a的取值范围是[$\frac{37}{6}$，+∞）．

Answer 1

分析 先由参数范围得到函数在区间[1，3]上的单调性，进而得到函数在[1，3]上的最值，若对任意的m∈（4，5），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（a-ln3）m-3ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立转化为（a-ln3）m-3ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|_max，进行求解即可得到参数a的取值范围．

解答 解：函数的导数f′（x）=3m+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{3+m}{x}$=$\frac{3{m}^{2}-（3+m）x+1}{{x}^{2}}$
=$\frac{（3x-1）（mx-1）}{{x}^{2}}$=$\frac{3m（x-\frac{1}{3}）（x-\frac{1}{m}）}{{x}^{2}}$，
∵m∈（4，5），
∴$\frac{1}{m}$∈（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$），
由f′（x）＞0得x＞$\frac{1}{3}$或x＜$\frac{1}{m}$，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得$\frac{1}{m}$＜x＜$\frac{1}{3}$，此时函数单调递减，
∴当x∈[1，3]时，函数f（x）为增函数，
则函数的最大值为f（3）_max=9m-$\frac{1}{3}$-（3+m）ln3，
函数的最小值为f（1）_min=3m-1，
则|f（x₁）-f（x₂）|_max=9m-$\frac{1}{3}$-（3+m）ln3-（3m-1）=6m+$\frac{2}{3}$-（3+m）ln3，
则（a-ln3）m-3ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，
等价为（a-ln3）m-3ln3＞6m+$\frac{2}{3}$-（3+m）ln3，
即am＞6m+$\frac{2}{3}$，即a＞6+$\frac{2}{3m}$，
∵m∈（4，5），
∴$\frac{1}{m}$∈（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$），
∴$\frac{2}{3m}$∈（$\frac{2}{15}$，$\frac{1}{6}$），
则6+$\frac{2}{3m}$∈（$\frac{82}{15}$，$\frac{37}{6}$），
则a≥$\frac{37}{6}$，
即实数a的取值范围是[$\frac{37}{6}$，+∞），
故答案为：[$\frac{37}{6}$，+∞）．

点评 本题主要考查利用函数的导数求函数的极值问题，与不等式恒成立有关的参数范围问题，根据条件判断函数的单调求出函数的最值是解决本题的关键．