Question

2．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）若极坐标为$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$的点A在曲线C₁上，求曲线C₁与曲线C₂的交点坐标；
（Ⅱ）若点P的坐标为（-1，3），且曲线C₁与曲线C₂交于B，D两点，求|PB|•|PD|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）点$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$对应的直角坐标为（1，1），由曲线C₁的参数方程知：曲线C₁是过点（-1，3）的直线，利用点斜式可得曲线C₁的方程．曲线C₂的极坐标方程即ρ²=2$\sqrt{2}ρ$$sin（θ+\frac{π}{4}）$，展开化为：ρ²=2$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ），利用互化公式即可得出曲线C₂的直角坐标方程联立即可得出交点坐标．
（Ⅱ）由直线参数方程可判断知：P在直线C₁上，将参数方程代入圆的方程得：t²-4（cosα-sinα）t+6=0，设点B，D对应的参数分别为t₁，t₂，利用|PB|•|PD|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（Ⅰ）点$（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$对应的直角坐标为（1，1），
由曲线C₁的参数方程知：曲线C₁是过点（-1，3）的直线，故曲线C₁的方程为：y-1=$\frac{3-1}{-1-1}$（x-1），化为x+y-2=0．
曲线C₂的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}sin（{θ+\frac{π}{4}}）$，即ρ²=2$\sqrt{2}ρ$$sin（θ+\frac{π}{4}）$，展开化为：ρ²=2$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ）．
可得曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²-2x-2y=0，
联立得$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-2x-2y=0\\ x+y-2=0\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=2\\{y_1}=0\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}{x_2}=0\\{y_2}=2\end{array}\right.$，
故交点坐标分别为（2，0），（0，2）．
（Ⅱ）由直线参数方程可判断知：P在直线C₁上，将$\left\{\begin{array}{l}x=-1+tcosα\\ y=3+tsinα\end{array}\right.$代入方程x²+y²-2x-2y=0得：t²-4（cosα-sinα）t+6=0，
设点B，D对应的参数分别为t₁，t₂，则|PB|=|t₁|，|PD|=|t₂|，而t₁t₂=6，
∴|PB|•|PD|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=6．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用、曲线交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．