Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$|1-2x|+|2x+1|
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若正实数a，b满足$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=m，且f（x）≤a+b对任意的正实数a，b恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）变形已知表达式，即可求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）原命题等价于f（x）≤8，即$\frac{1}{2}|{1-2x}|+|{2x+1}|≤8$，利用x的范围分类讨论，求出实数x的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$f（x）=|{x-\frac{1}{2}}|+|{2x+1}|=\left\{{\begin{array}{l}{3x+\frac{1}{2}，x≥\frac{1}{2}}\\{x+\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{2}}\\{-3x-\frac{1}{2}，x＜-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，
可知当x=-$\frac{1}{2}$时，函数f（x）的最小值m等于1．…（5分）
（Ⅱ）由（1）知$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，
所以$a+2b=（a+2b）•（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）=4+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}≥4+4=8$，
当且仅当a=b=3时取等号．
原命题等价于f（x）≤8，即$\frac{1}{2}|{1-2x}|+|{2x+1}|≤8$，
当$x≥\frac{1}{2}$时，不等式等价于$x-\frac{1}{2}+2x+1≤8$，即$3x≤7\frac{1}{2}$，得$x≤\frac{5}{2}$，所以$\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}$，
当$-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{2}$时，不等式等价于$\frac{1}{2}-x+2x+1≤8$，即$x≤6\frac{1}{2}$，所以$-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{2}$，
当$x＜-\frac{1}{2}$时，不等式等价于$\frac{1}{2}-x-2x-1≤8$，即$3x≥-8\frac{1}{2}$，得$x≥-\frac{17}{6}$，
所以$-\frac{17}{6}≤x≤-\frac{1}{2}$，
所以原不等式的解集为$\left\{{x\left|{-\frac{17}{6}≤x≤\frac{5}{2}}\right.}\right\}$．…（10分）

点评 本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立的应用，考查计算能力．