Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

5

3

，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在异于M的定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用离心率为

5

3

，可得

b

a

=

2

3

，由椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂，可得△MB₁B₂是等腰直角三角形，由此可求椭圆C的方程；
（2）设线AB的方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理，结合PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．

解答： 解：（1）因为椭圆的离心率为

5

3

，所以1-

b2

a2

=

5

9

，
所以

b

a

=

2

3

依题意△MB₁B₂是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3，
所以椭圆C的方程是

x2

9

+

y2

4

=1；．…（5分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为x=my+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 （4m²+9）y²+16my-20=0．…（7分）
所以y₁+y₂=

-16m

4m2+9

．…（8分）
若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k_PA+k_PB=0．…（9分）
设P（a，0），则有

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0．
将x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得

2my1y2+(2-a)(y1+y2)

(my1+2-a)(my2+2-a)

=0，
所以 2my₁y₂+（2-a）（y₁+y₂）=0．…（12分）
将y₁+y₂=

-16m

4m2+9

，y₁y₂=

-20

4m2+9

代入上式，整理得（-2a+9）•m=0．…（13分）
由于上式对任意实数m都成立，所以a=

9

2

．
综上，存在定点P（

9

2

，0），使PM平分∠APB．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查存在性问题的探究，属于中档题．