Question

【题目】已知函数在处取得极值．

求函数的解析式；

若过点可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：

由题意可得，故可得到a、b的方程组，求解即可；

由题意知，点A不在曲线上，故设出切点为，根据切点在曲线上和导数的几何意义建立等量关系，得到，由题意知该方程有3个解，故将问题转化为的极大值和极小值异号的问题，解不等式组可求出实数m的取值范围．

试题解析：

（1）∵，

∴，

由题意得，解得．

．

（2）由（1）得，

曲线方程为，

点不在曲线上．

设切点为，

则，

切线的斜率为，

整理得

过点可作曲线的三条切线，

关于方程有三个实根．

设，则，

由，解得或．

当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．

∴当时，有极大值，且极大值为；

当时，有极小值，且极小值为．

由题意得，函数有三个零点，

∴ ，解得．

故所求的实数a的取值范围是．