Question

4．在平面直角坐标系xOy中，设钝角α的终边与圆O：x²+y²=4交于点P（x₁，y₁），点P沿圆顺时针移动$\frac{2π}{3}$个单位弧长后到达点Q，点Q的坐标（x₂，y₂），则y₁+y₂的取值范围（　　）

• A． $[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]$
• B． $（\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$
• C． （1，2]
• D． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}]$

Answer 1

分析 根据三角函数的定义，即可求出函数y₁+y₂．

解答 解：由三角函数定义知，x₁=2cosα，y₁=2sinα，$\frac{π}{2}$＜α＜π，
x₂=2cos（α-$\frac{2π}{3}$），y₂=2sin（α-$\frac{2π}{3}$），
则y₁+y₂=2sinα+2sin（α-$\frac{2π}{3}$）=2sinα+2（sinαcos$\frac{2π}{3}$-cosαsin$\frac{2π}{3}$）
=2sinα-sinα-$\sqrt{3}$cosα
=sinα-$\sqrt{3}$cosα
=2（$\frac{1}{2}$sinα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα）
=2sin（α-$\frac{π}{3}$），
∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（α-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴1＜2sin（α-$\frac{π}{3}$）≤2，
即y₁+y₂的取值范围是（1，2]，
故选C．

点评 本题主要考查三角函数的定义，两角和与差的余弦公式，余弦函数的性质，考查学生的运算能力．