Question

8．下列说法：
①函数f（x）=sin（$\frac{1}{6}$x$-\frac{π}{3}$）的一条对称轴方程是x=2π；
②十进制数68_（10）转化为三进制数是2112_（3）；
③函数f（x）=sin（$\frac{π}{6}$-2x）的增区间是[$-\frac{π}{6}-kπ，\frac{π}{3}-kπ$]，k∈Z；
④若△ABC中三个内角满足sinC=2sinAcosB，则△ABC是等腰三角形．
其中正确的有②④．

Answer 1

分析 ①x=2π时f（x）取不到最大或最小值，判断x=2π不是函数f（x）的对称轴；
②由68=2×3⁰+1×3¹+1×3²+2×3³，把十进制数68化为三进制数；
③求出函数f（x）的单调增区间即可；
④根据三角形内角和定理与三角恒等变换，得出A=B，△ABC是等腰三角形．

解答 解：对于①，x=2π时，f（2π）=sin（$\frac{2π}{6}$-$\frac{π}{3}$）=0，
∴x=2π不是函数f（x）=sin（$\frac{1}{6}$x$-\frac{π}{3}$）的一条对称轴，①错误；
对于②，∵68=2×3⁰+1×3¹+1×3²+2×3³，
∴十进制数68_（10）转化为三进制数是2112_（3），②正确；
对于③，函数f（x）=sin（$\frac{π}{6}$-2x）=-sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的增区间是[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z，③错误；
对于④，△ABC中，sinC=2sinAcosB，
∴sin（A+B）=2sinAcosB，
∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
∴sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
∴A=B，△ABC是等腰三角形，④正确．
综上，正确的命题序号是②④．
故答案为：②④．

点评 本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了十进制数与三进制数的转化问题，是综合题．