Question

9．在△ABC中，2AB=BC，P₀是线段AB上一个定点，且$\overrightarrow{{P}_{0}B}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$；P是直线AB上的一个动点，当P在直线AB上运动时，不等式$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$恒成立，则cos∠BAC=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{PB}$=t$\overrightarrow{AB}$，t∈R，由向量共线定理和向量数量积的定义和性质，化简可得t²-2tcosB+$\frac{1}{2}$cosB-$\frac{1}{16}$≥0恒成立，运用判别式不小于0，可得cosB=$\frac{1}{4}$，由余弦定理可得AC=2AB，由等腰三角形的性质，可得所求值．

解答 解：设$\overrightarrow{PB}$=t$\overrightarrow{AB}$，t∈R，
由$\overrightarrow{{P}_{0}B}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$恒成立，
可得t$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BC}$）≥$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{{P}_{0}B}$+$\overrightarrow{BC}$），
即有t²$\overrightarrow{AB}$²+t$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$≥$\frac{1}{16}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$，
即为t²$\overrightarrow{AB}$²-2t$\overrightarrow{AB}$²cosB≥$\frac{1}{16}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²cosB，
即有t²-2tcosB+$\frac{1}{2}$cosB-$\frac{1}{16}$≥0恒成立，
可得判别式4cos²B-4（$\frac{1}{2}$cosB-$\frac{1}{16}$）≤0，
化为（cosB-$\frac{1}{4}$）²≤0，
而（cosB-$\frac{1}{4}$）²≥0，
则cosB=$\frac{1}{4}$，
由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB
=AB²+4AB²-2AB•2AB•$\frac{1}{4}$=4AB²，
即有AC=BC=2AB，
即cos∠BAC=cosB=$\frac{1}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查向量不等式恒成立问题的解法，注意运用向量共线定理和数量积的定义及性质，考查二次不等式恒成立问题解法，考查运算能力，属于中档题．