Question

4．设向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，求x的值；
（2）设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）运用向量模的公式，结合特殊角正弦函数值；
（2）运用向量数量积的定义和二倍角公式，两角差的正弦公式，正弦函数的性质，即可得到所求最值．

解答 解：（1）向量 $\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3si{n}^{2}x+si{n}^{2}x}$=$\sqrt{4si{n}^{2}x}$，
|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{co{s}^{2}x+si{n}^{2}x}$=1，
即有2sinx=1，解得x=$\frac{π}{6}$；
（2）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值1；
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0时，f（x）取得最小值-1，
则f（x）的值域是[-1，1]．

点评 本题考查向量数量积的运用，考查三角函数恒等变换，以及正弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题．