Question

12．对于任意两个正实数a，b，定义a*b=λ×$\frac{a}{b}$，其中常数λ∈（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），“×”时实数乘法运算，若8*3=3，则λ=$\frac{9}{8}$；若a≥b＞0，a*b与b*a都是集合{x|x=$\frac{n}{2}$，n∈Z}中的元素，则a*b=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 推导出$λ×\frac{8}{3}=3$，由此能求出λ；由a≥b＞0，得0＜$\frac{b}{a}$≤1，由0＜$λ×\frac{b}{a}$≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，a*b与b*a都是集合{x|x=$\frac{n}{2}$，n∈Z}中的元素，得$λ×\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{b}$=2λ，从而a*b=2λ²，且2＜2λ²＜3，由此能出a*b．

解答 解：∵a*b=λ×$\frac{a}{b}$，其中常数λ∈（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），“×”时实数乘法运算，8*3=3，
∴$λ×\frac{8}{3}=3$，解得λ=3×$\frac{3}{8}$=$\frac{9}{8}$．
∵a≥b＞0，a*b=λ×$\frac{a}{b}$，其中常数λ∈（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），“×”时实数乘法运算，
∴0＜$\frac{b}{a}$≤1，0＜$λ×\frac{b}{a}$≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
又a*b与b*a都是集合{x|x=$\frac{n}{2}$，n∈Z}中的元素，
∴$λ×\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{b}$=2λ，
∴a*b=2λ²，且2＜2λ²＜3，
∴a*b=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{8}$，$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查对新定义a*b的理解，描述法表示集合，元素与集合的关系，以及不等式的性质，是中档题．