Question

7．列{a_n}、{b_n}均为等比数列，其前n项和分别为S_n，T_n，若对任意的n∈N^*，都有$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{{3}^{n}+1}{4}$，则$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$=（　　）

• A． 19
• B． 30
• C． 27
• D． 9

Answer 1

分析 根据数列的递推关系，设出数列的公比为p，q，根据条件建立方程关系进行求解即可．

解答 解：当n=1时，$\frac{{S}_{1}}{{T}_{1}}$=$\frac{3+1}{4}$=1，即a₁=b₁，
设{a_n}、{b_n}的公比分别为q，p，
则$\frac{{S}_{2}}{{T}_{2}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{1}q}{{b}_{1}+{b}_{1}p}$=$\frac{1+q}{1+p}$=$\frac{9+1}{4}$=$\frac{5}{2}$，即2（1+q）=5（1+p），即q=$\frac{3}{2}$+$\frac{5p}{2}$，
当n=3时，$\frac{{S}_{3}}{{T}_{3}}$=$\frac{{a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}}{{b}_{1}+{b}_{1}p+{b}_{1}{p}^{2}}$=$\frac{1+q+{q}^{2}}{1+p+{p}^{2}}$=$\frac{27+1}{4}$=7，
即1+q+q²=7（1+p+p²），
将q=$\frac{3}{2}$+$\frac{5p}{2}$代入1+q+q²=7（1+p+p²）得1+$\frac{3}{2}$+$\frac{5p}{2}$+（$\frac{3}{2}$+$\frac{5p}{2}$）²=7（1+p+p²），
整理得p²-4p+3=0，得p=1或3，
当p=1时，q=$\frac{3}{2}$+$\frac{5p}{2}$=4，此时$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{\frac{{a}_{1}（1-{4}^{n}）}{1-4}}{n{b}_{1}}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3n}$≠$\frac{{3}^{n}+1}{4}$，∴p=1不成立，
当p=3时，q=9，此时$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{3}}{{b}_{1}{p}^{3}}$=$\frac{{9}^{3}}{{3}^{3}}$=27，
综上$\frac{{a}_{4}}{{b}_{4}}$=27，
故选：C

点评 本题主要考查等比数列的应用，根据条件结合数列的递推关系建立方程关系是解决本题的关键．