Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 (为参数）.

(I)写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；

(II)将曲线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到曲线，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（I）极坐标方程两边乘以 ，利用转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成 代入下式消去参数 即可，最后利用圆心到直线的距离与半径比较即可判定位置关系；(II)根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入 ，根据三角函数的辅助角公式，求出其范围即可.

试题解析：（I）直线的一般方程为，

曲线的直角坐标方程为.

因为，

所以直线和曲线相切.

（II）曲线为.

曲线经过伸缩变换

得到曲线的方程为，

则点的参数方程为（为参数），

所以，

所以的取值范围为.