Question

5．已知点F（x，y）与两定点M（-1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．

Answer 1

分析 （1）利用点F（x，y）与两定点M（-1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0），建立方程，即可求动点P的轨迹C的方程；
（2）根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．

解答 解．（1）由题意k_PM，k_PN存在且不为零，
由${k_{PM}}•{k_{PN}}=\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}=λ$，得${x^2}-\frac{y^2}{λ}=1（λ≠0，x≠±1）$
即为动点P的轨迹C的方程；                                         （6分）
（2）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点．焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）；
②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点．焦点在x轴上的椭圆（除去长轴上的两个端点）；
③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心1为半径的圆（除去点（-1，0），（1，0））；
④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点．焦点在y轴上的椭圆（除去短轴上的两个端点）．（12分）

点评 本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，确定轨迹方程是关键．