Question

10．如图，在直角坐标系xOy中，椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左右焦点分别为F₁，F₂，左、右、上、下四个顶点分别为A，C，B，D，四边形F₁BF₂D的面积与四边形ABCD的面积的比值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）设椭圆E的焦距为$2\sqrt{2}$，直线l与椭圆E交于P，Q两点，且OP⊥OQ，求证：直线l恒与一定圆相切，并求出该圆的方程．

Answer 1

分析 （1）四边形F₁BF₂D与四边形ABCD均为菱形，根据菱形的面积公式可知：求得$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，由椭圆的离心率公式e=$\frac{c}{a}$，即可求得椭圆E的离心率；
（2）由c=$\sqrt{2}$，由（1）可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求得a的值，根据椭圆的性质，求得b，即可求得椭圆方程，当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标表示，求得4m²=3（k²+1），再由点到直线的距离公式d=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求得直线l恒与一定圆相切，当斜率不存在时，P，Q的坐标满足方程|y|=|x|，根据椭圆的方程及点到直线的距离公式即可求得直线l恒与一定圆相切，求得圆的方程．

解答 解：（1）由题意知，四边形F₁BF₂D与四边形ABCD均为菱形，
∴$\frac{{{S_{{F_1}B{F_1}D}}}}{{{S_{ABCD}}}}=\frac{{\frac{1}{2}×2c×2b}}{{\frac{1}{2}×2a×2b}}=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
所以椭圆E的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$；
（2）证明：由2c=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，
由（1）可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，解得：a=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
①当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0，
△=12（1+3k²-m²）＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由韦达定理，得${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{1+3{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{3（{{m^2}-1}）}}{{1+3{k^2}}}$，
∴${y_1}•{y_2}=（{k{x_1}+m}）•（{k{x_2}+m}）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}$，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x_1}•{x_2}+{y_1}•{y_2}=\frac{{4{m^2}-3（{{k^2}+1}）}}{{1+3{k^2}}}=0$，
整理得：4m²=3（k²+1），
∴原点O到直线l的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{\frac{m^2}{{1+{k^2}}}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
②当直线l的斜率不存在时，△OPQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形，
P，Q的坐标满足方程|y|=|x|，
结合椭圆方程，得$|x|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，从而原点O到直线l的距离$d=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
综上，直线l恒与一定圆相切，该圆的圆心为原点O，
半径为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故该圆的方程为${x^2}+{y^2}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理向量数量积的坐标表示，直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．