Question

1．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=3，S₉=81．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）记数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和为T_n，数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和为U_n，求证：U_n＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列的性质与求和公式可求得其公差d与a₂，从而可求得通项a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得S_n=$\frac{n{（a}_{1}{+a}_{n}）}{2}$=n²，故$\frac{{S}_{n}}{n}$=n，继而得其前n项和T_n，利用裂项法可求得数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和为U_n，从而可证U_n＜2．

解答 解：（Ⅰ）依题意，由等差数列的性质可得，S₉=9a₅=81，故a₅=9，----------（2分）
又a₂=3，
∴d=$\frac{{a}_{5}{-a}_{2}}{5-2}$=2，----------------（3分）
所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-1；------------（5分）
（Ⅱ）证明：由a_n=2n-1得：S_n=$\frac{n{（a}_{1}{+a}_{n}）}{2}$=n²，$\frac{{S}_{n}}{n}$=n，T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，-----------（8分）
$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）．---------（9分）
U_n=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2．----------（12分）

点评 本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，突出裂项法求和的运用，属于中档题．