Question

10．已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，则a的取值范围为[0，8]．

Answer 1

分析 由题意设g（x）=f（x）+2x，（x＞0），g（x）是增函数，即g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求出a的取值范围．

解答 解：令g（x）=f（x）+2x=ax²-ax+lnx，（x＞0）；
由题意知g（x）在（0，+∞）单调递增，
所以g'（x）=2ax-a+$\frac{1}{x}$≥0在（0，+∞）上恒成立，
即2ax²-ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立；
令h（x）=2ax²-ax+1，（x＞0）；
则①若a=0，h（x）=1≥0恒成立，
②若a＜0，二次函数h（x）≥0不恒成立，舍去
③若a＞0，二次函数h（x）≥0恒成立，
只需满足最小值h（$\frac{1}{4}$）≥0，
即$\frac{a}{8}$-$\frac{a}{4}$+1≥0，解得0＜a≤8；
综上，a的取值范围是[0，8]．
故答案为：[0，8]．

点评 本题考查了应用导数判定函数的增减性和恒成立问题的解法，是中档题．