Question

10．已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，且∠A₁AB=∠A₁AD=60°，则当$\frac{{A}_{1}A}{AB}$=$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$时，AC₁⊥A₁B．

Answer 1

分析 利用全等三角形可知A₁在底面ABCD的射影在AC上，设AB=1，AA₁=m，建立空间坐标系，求出$\overrightarrow{A{C}_{1}}$和$\overrightarrow{{A}_{1}B}$的坐标，令$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=0解出m即可．

解答 解：设A₁在底面ABCD内的射影为P，过P作PM⊥AB，PN⊥AD，连结A₁P，A₁M，A₁N，
则A₁M⊥AB，A₁N⊥AD，
∵∠A₁AB=∠A₁AD=60°，∴A₁M=A₁N，
∴PM=PN，
∴P在∠DAB的角平分线上，∴∠MAP=45°，
设AM=a，则AP=$\sqrt{2}a$，AA₁=2a，∴∠A₁AP=45°，
设AC，BD交点为O，以O为原点，以AC，BD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
设AB=1，AA₁=m，则A（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），A₁（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，0，$\frac{\sqrt{2}m}{2}$），B（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），C₁（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}m}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}m}{2}$），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}m}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}m}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}m}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}m}{2}$），
若AC₁⊥A₁B，则$\overrightarrow{A{C}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=0，即（$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}m}{2}$）•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{2}m}{2}$）-$\frac{{m}^{2}}{2}$=0，
解得m=$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$．
∴$\frac{{A}_{1}A}{AB}$=$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$．

点评 本题考查了棱柱的结构特征，线面垂直的判定，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．