Question

已知函数f（x）=3ax²+2bx+c，a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0
（I）求证：-2＜

b

a

＜-1；
（II）若x₁、x₂ 是方程f（x）=0的两个实根，求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 当a=0时，f（0）=c，f（1）=2b+c，又b+c=0，则f（0）•f（1）=c（2b+c）=-c²＜0，与已知矛盾，因而a≠0，则f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-（b+c）（2a+b）＞0，从而建立关于

b

a

的不等关系，从而求出

b

a

的范围即得；
（II）根据根与系数的关系即可求得x₁+x₂，x₁•x₂则可得d²=|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，得到关于

b

a

的二次函数，又由（I）得-2＜

b

a

＜-1，根据其增减性即可求得答案．

解答：证明：（Ⅰ） 当a=0时，f（0）=c，f（1）=2b+c，又b+c=0，
则f（0）•f（1）=c（2b+c）=-c²＜0，与已知矛盾，
因而a≠0，则f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-（b+c）（2a+b）＞0
即（

b

a

+1）（

b

a

+2）＜0，从而-2＜

b

a

＜-1；
（II） x₁、x₂是方程f（x）=0的两个实根，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁•x₂=-

a+b

3a

，
那么|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（-

2b

3a

）²+4×

a+b

3a

=

4

9

（

b

a

）²+

4

3

×

b

a

+

4

3

，
此关于

b

a

的二次函数的对称轴为：

b

a

=-

3

2

，
∴当-2＜

b

a

＜-1时，是减函数，
∴|x₁-x₂|²∈[

1

3

，

4

9

）
|x₁-x₂|的取值范围的取值范围[

3

3

，

2

3

）．

点评：此题主要考查了二次函数的性质、含有字母系数的一元二次方程的解法，注意根与系数的关系的应用．