Question

如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进，现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上所标数字分别为1、1、2、2、3、3.质点P从A点出发，规则如下：当正方体朝上一面出现的数字是1，质点P前进一步(如由A到B)，当正方体朝上一面出现的数字是2，质点P前进两步(如由A到C)；当正方体朝上一面出现的数字是3，质点P前进三步(如由A到D)．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．

(1)求点P恰好返回到点A的概率；

(2)在点P转一圈恰能返回到点A的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到点A的投掷次数，求ξ的数学期望．

Answer 1

解：(1)事件“点P转一圈恰能返回到点A”记为M；事件“投掷两次点P就恰能返回到点A”记为B；事件“投掷三次点P就恰能返回到点A”记为D；事件“投掷四次点P就恰能返回到点A”记为E.投掷一次正方体玩具，朝上一面每个数字的出现都是等可能的，其概率为P₁＝＝，因为只投掷一次不可能返回到点A；若投掷两次点P就恰能返回到点A，则朝上一面出现的两个数字应依次为：(1,3)，(3,1)，(2,2)三种结果，其概率为P(B)＝²×3＝；

若投掷三次点P恰能返回到点A，则朝上一面出现的三个数字应依次为：

(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三种结果，其概率为P(D)＝³×3＝；

若投掷四次点P恰能返回到点A，则朝上一面出现的四个数字应依次为：

(1,1,1,1)，其概率为P(E)＝⁴＝；

所以点P恰好返回到点A的概率为

P(M)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＝.

(2)随机变量ξ的可能取值为2,3,4.

即ξ的分布列为所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.即ξ的数学期望是.