Question

20．已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）．
（ I）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（ II）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，求出f（x）的表达式，然后作图写出单调区间即可．
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1．通过a=0，a≠0，当a＜0时，$a＞\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}$时，0$＜a＜\frac{1}{4}$时，分别求解函数的最小值，得到函数的解析式．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+1，x＜0}\\{{x}^{2}-x+1，x≥0}\end{array}\right.$．作图（如右所示）
增区间$[-\frac{1}{2}，0]$，$[\frac{1}{2}，+∞）$，减区间$（-∞，-\frac{1}{2}]$，$[0，\frac{1}{2}]$------（4分）
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1．
若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=-3----------------（5分）
若a≠0，则$f（x）=a{（x-\frac{1}{2a}）^2}+2a-\frac{1}{4a}-1$，f（x）图象的对称轴是直线$x=\frac{1}{2a}$．
当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3，--------（6分）
当$0＜\frac{1}{2a}＜1$，即$a＞\frac{1}{2}$时，f（x）在区间[1，2]上时增函数，g（a）=f（1）=3a-2--------（7分）
当$1≤\frac{1}{2a}≤2$，即$\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}$时，$g（a）=f（\frac{1}{2a}）=2a-\frac{1}{4a}-1$，------（8分）
当$\frac{1}{2a}＞2$，即0$＜a＜\frac{1}{4}$时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．------（9分）
综上可得$g（a）=\left\{\begin{array}{l}6a-3，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;当a＜\frac{1}{4}\\ 2a-\frac{1}{4a}-1，\;\;\;\;\;\;\;\;\;当\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}\\ 3a-2，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;当a＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$．------（10分）．

点评 本题考查二次函数的性质，分段函数的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．