Question

已知函数f（x）=3x²+（p+2）x+3，p为实数．
（1）若函数是偶函数，试求函数f（x）在区间[-1，3]上的值域；
（2）已知α：函数f（x）在区间上是增函数，β：方程f（x）=p有小于-2的实根．试问：α是β的什么条件（指出充分性和必要性）？请说明理由．

Answer 1

解：（1）由函数y=f（x）是偶函数，得：
f（-x）=3x²+（p+2）（-x）+3=3x²+（p+2）x+3=f（x）恒成立
∴p+2=0即p=-2 （2分）；
f（x）=3x²+3在x=0处取最小值3，在x=3处取最大值30
∴函数f（x）在区间[-1，3]上的值域为[3，30]．（2分）
（2）∵函数f（x）在区间上是增函数
∴即p≥1
∴α：p≥1；（2分）；
方程f（x）=p有小于-2的实根则△≥0，较小的根小于小于-2，则β：（4分）
所以：α是β的必要非充分条件（2分）
分析：（1）根据函数y=f（x）是偶函数则f（-x）=f（x）恒成立，可求出p的值，根据二次函数的性质可求出函数的值域；
（2）先分别求出α与β中p的范围，然后根据充要条件的判定方法进行判定即可．
点评：本题主要考查了函数奇偶性，以及函数的值域和充要条件的判定，属于中档题．