在△ABC中.D为BC边上的中点.P0是边AB上的一个定点.P0B=$\frac{1}{4}$AB.且对于AB上任一点P.恒有$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P} {0}B}$•$\overrightarrow{{P} {0}C}$.则下列结论中正确的是①②⑤(填上所有正确命题的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

5．在△ABC中，D为BC边上的中点，P₀是边AB上的一个定点，P₀B=$\frac{1}{4}$AB，且对于AB上任一点P，恒有$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$，则下列结论中正确的是①②⑤（填上所有正确命题的序号）．
①当P与A，B不重合时，$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$与$\overrightarrow{PD}$共线；
②$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overline{P{D}_{2}}$-$\overrightarrow{D{B}_{2}}$；
③存在点P，使|$\overrightarrow{PD}$|＜|$\overrightarrow{{P}_{0}D}$|；
④$\overrightarrow{{P}_{0}C}$•$\overrightarrow{AB}$=0；
⑤AC=BC．

分析由题意画出图形，利用平面向量的加减运算及数量积运算逐一分析5个命题得答案．

解答解：∵D为BC边的中点，∴$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$，故①正确；
$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=（$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{DB}$）•（$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{DC}$）=$\overrightarrow{PD}$²-$\overrightarrow{DB}$²，故②正确；
由题意可得$\overrightarrow{{P}_{0}B}•\overrightarrow{{P}_{0}C}$=${\overrightarrow{{P}_{0}D}}^{2}-{\overrightarrow{DB}}^{2}$，由已知$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$恒成立，
得${\overrightarrow{PD}}^{2}≥{\overrightarrow{{P}_{0}D}}^{2}$，即|$\overrightarrow{PD}$|≥|$\overrightarrow{{P}_{0}D}$|恒成立，故③错误；
注意到P₀，D是定点，∴P₀D是点D与直线上各点距离的最小值，则P₀D⊥AB，故$\overrightarrow{{P}_{0}D}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
设AB中点为O，则CO∥P₀D，故④错误；
再由D为BC的中点，CO为底边AB的中线，且CO⊥AB，∴△ABC是等腰三角形，有AC=BC，故⑤正确．
综上可知，①②⑤正确，
故答案为：①②⑤．

点评本题考查平面向量的数量积运算，考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．

练习册系列答案

课课练与单元测试系列答案

世纪金榜小博士单元期末一卷通系列答案

单元测试AB卷台海出版社系列答案

黄冈新思维培优考王单元加期末卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

15．若P（2，-1）为圆（x-1）²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（　　）

A．

2x+y-3=0

B．

x+y-1=0

C．

x-y-3=0

D．

2x-y-5=0

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

16．圆x²+y²=5与圆（x-1）²+（y-1）²=3的公共弦的弦长等于（　　）

A．

2$\sqrt{2}$

B．

2$\sqrt{5}$

C．

$\frac{3\sqrt{7}}{2}$

D．

2$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

13．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna-b（b∈R，a＞0且a≠1），e是自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）当a＞1时，若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，求实数a的取值范围．（参考公式：（a^x）′=a^xlna）

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

20．定义在R上的函数f（x）满足：$f（{x+1}）=\frac{1}{f（x）}$，并且$x∈[{-1，1}]，f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+a，-1≤x＜0}\\{|{\frac{2}{5}-x}|，0≤x＜1}\end{array}}\right.$，若$f（{-\frac{5}{2}}）=f（{\frac{9}{2}}）$，则f（5a）=（　　）

A．

$\frac{7}{16}$

B．

$-\frac{2}{5}$

C．

$\frac{11}{16}$

D．

$\frac{13}{16}$

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

10．