Question

△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c，∠B=

π

3

，△ABC外接圆半径为1．
（1）若a+c=3，求a及c边．
（2）若BC中点为D，∠DAC=

π

6

，∠C≠

π

3

，求△ABC面积．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理可求b，再利用余弦定理及a+c=3，建立方程组，即可求a及c边．
（2）先求C，并求得△ABC为直角三角形，即可求△ABC面积．

解答：解：（1）∵

b

sinB

=2R=2，∠B=

π

3

∴b=2sin

π

3

=

3

（2分）
∴(

3

)2=a2+c2-2accos

π

3

∴3=（a+c）²-3ac，∴ac=2      （4分）
由

ac=2 a+c=3

，可得

a=1 c=2

或

a=2 c=1

（6分）
（2）△ABD与△ACD中

AD

sinB

=

BD

sin∠BAD

，

AD

sinC

=

DC

sin∠DAC

（8分）
∵∠DAC=

π

6

，∠B=

π

3

，∴∠BAD+∠C=

π

2

又BD=CD，∴sinCcosC=

3

4

，∴sin2C=

3

2

（10分）
∴2C=

π

3

或2C=

2π

3

又C≠

π

3

，∴C=

π

6

，∴△ABC为直角三角形，∴S=

3

2

（12分）

点评：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．