Question

【题目】已知函数，下列命题：

①为偶函数；②的最大值为2；

③在内的零点个数为18；

④的任何一个极大值都大于1．

其中所有正确命题的序号是_____．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由于函数，根据奇偶性的定义和图象与性质，分析函数的奇偶性、最值、对称性和极值，从而可判断命题的真假．

解：对于①，函数，定义域为，且满足，

所以函数为偶函数，故①正确；

对于②，因为，，所以，

又因为，即当时，取得最大值为2，故②正确；

对于③，的图象如图所示，可知在内有10个零点，

由①可知为偶函数，其零点关于原点对称，

所以在内的零点个数为20，所以③错误；

对于④，由于是偶函数，则只需考虑的情况，

此时，则，

由和的图象可知，

在每一个区间上，时，有2个解，

且当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

而，所以得极大值为，

所以的任何一个极大值都大于1，故④正确.

综上知，正确的命题序号是①②④．

故答案为：①②④．