Question

12．已知函数f（x）=cosx+a•x，x∈R的图象在$（\frac{π}{6}，f（\frac{π}{6}））$处的切线的斜率为0．
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a；
（2）由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间，结合正弦函数的图象及性质．

解答 解：（1）函数f（x）=cosx+a•x的导数为f′（x）=a-sinx，
由题意可得a-sin$\frac{π}{6}$=0，解得a=$\frac{1}{2}$；
（2）由f′（x）=$\frac{1}{2}$-sinx＞0，解得2kπ-$\frac{7π}{6}$＜x＜2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由f′（x）＜0，解得2kπ+$\frac{π}{6}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即有单调增区间为（2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$），
单调减区间为（2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$），k∈Z．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，同时考查三角函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．