Question

17．$已知函数f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{2-ax}{x-1}（{a是常数且a＜2}）$
（1）求f（x）的定义域；
（2）若f（x）在区间（2，4）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的解析式，分类讨论求得函数的定义域．
（2）由题意可得函数$t=\frac{2-ax}{x-1}$在（2，4）上是减函数，故 t′=$\frac{a-2}{{（x-1）}^{2}}$＜0，故a＜2．且当x=4时，t=$\frac{2-4a}{4-1}$≥0，求得a≤$\frac{1}{2}$，综合可得a的范围．

解答 解：（1）根据 f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}\frac{2-ax}{x-1}$（a＜2），可得当a=0时，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}\frac{2}{x-1}$，x-1＞0，求得定义域为（1，+∞）；
当a＜0时，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}\frac{2-ax}{x-1}$（a＜2），$\frac{2-ax}{x-1}$＞0，求得定义域为（-∞，$\frac{2}{a}$）∪（1，+∞）；
当2＞a＞0时，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}\frac{2-ax}{x-1}$（a＜2），$\frac{2-ax}{x-1}$＞0，求得定义域为（1，$\frac{2}{a}$）．
（2）令$t=\frac{2-ax}{x-1}$，$y={log_{\frac{1}{2}}}t$，$函数f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{2-ax}{x-1}$在（2，4）上是增函数，则函数$t=\frac{2-ax}{x-1}$在（2，4）上是减函数，
∴t′=$\frac{a-2}{{（x-1）}^{2}}$＜0，故a＜2．
当x=4时，t=$\frac{2-4a}{4-1}$≥0，求得a≤$\frac{1}{2}$．
综上可得，a≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查求函数的定义域，复合函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．