Question

5．函数f（x）=x²-ax+1在区间（$\frac{1}{2}$，3）上有零点，则实数a的取值范围是$[{2，\frac{10}{3}}）$．

Answer 1

分析 由题意得a=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，从而由对勾函数的性质可知f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，1）上是减函数，在[1，3）上是增函数，从而求实数a的取值范围．

解答 解：由题意得，x²-ax+1=0，
即a=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，
由对勾函数的性质可知，
f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，1）上是减函数，在[1，3）上是增函数，
f（$\frac{1}{2}$）=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，f（1）=1+1=2，f（3）=3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$；
故实数a的取值范围是$[{2，\frac{10}{3}}）$．
故答案为：$[{2，\frac{10}{3}}）$．

点评 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及对勾函数的性质的应用．