Question

（本题满分14分）
设函数，。
（1）若，过两点和的中点作轴的垂线交曲线于点，求证：曲线在点处的切线过点；
（2）若，当时恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

（2）

解：（1）由已知得，，
即，                     ………… 1分。
由，得，
曲线在点处的切线的斜率，
方程为，           ………… 4分
当时，，故，
所以点在切线上，即曲线在点处的切线过点。…… 6分
（2）当时，，，
由，即，解得，或。
 ，故                                            ………… 7分
当，即时，在上，单调递增，
故在上单调递增，所以当时，取得最大值

依题意得，解得，此时；………… 9分
当，即时，，在上，单调递增；
在上，单调递减，所以当时，取得极大值，也是最大值，最大值为，
依题意得，解得，此时。  ………… 13分
综上所述得实数的取值范围为。    ………… 14分