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已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数,g(x)≠0,若f'(x)g(x)<f(x)g'(x),且f(x)=ax•g(x)(a>0且a≠1)及
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
10
3
,则a的值为______.
∵f(x)=ax•g(x)
f(x)
g(x)
=ax,得
f(1)
g(1)
=a,
f(-1)
g(-1)
=a-1=
1
a

因此
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
10
3
即a+
1
a
=
10
3

解之得a=3或
1
3

设F(x)=
f(x)
g(x)
,则F'(x)=
f′(x)g(x)-f(x)g′(x)
g′(x)

∵f'(x)g(x)<f(x)g'(x),
∴F'(x)=
f′(x)g(x)-f(x)g′(x)
g′(x)
<0在R上成立,故F(x)是R上的减函数
即y=ax是R上的减函数,故a∈(0,1)
所以实数a的值为
1
3

故答案为:
1
3
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