Question

已知数列{a_n}中，a₇=4，a_n+1=

3an+4

7-an

．
（1）是否存在自然数m，使得当n≥m时，a_n＜2；当n＜m时，a_n＞2？
（2）是否存在自然数p，使得当n≥p时，总有

an-1+an+1

2

＜a_n？

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,压轴题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意，化简a_n+1=

3an+4

7-an

为1-

5

an-2

+

5

an+1-2

=0，从而说明{

5

an-2

}是以-1为公差的等差数列，从而求出a_n=

10

19-2n

+2，从而找到m；
（2）由（1）知a_n-1+a_n+1-2a_n=

10

21-2n

+

10

17-2n

-2

10

19-2n

化简即可．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

3an+4

7-an

，
∴a_na_n+1-7a_n+1+3a_n+4=0，
即（a_n-2）（a_n+1-2）-5（a_n+1-2）+5（a_n-2）=0，
可知若a_n=2，则a_n+1=2，与a₇=4相矛盾，故a_n≠2，
则1-

5

an-2

+

5

an+1-2

=0，
∴{

5

an-2

}是以-1为公差的等差数列，
∴

5

an-2

=

5

4-2

-（n-7）=

19-2n

2

，
∴a_n=

10

19-2n

+2，
∴当m=10时，满足当n≥m时，a_n＜2；当n＜m时，a_n＞2，
（2）∵a_n=

10

19-2n

+2，
∴a_n-1+a_n+1-2a_n=

10

21-2n

+

10

17-2n

-2

10

19-2n

=

10

(21-2n)(19-2n)(17-2n)

[（19-2n）（17-2n）+（21-2n）（19-2n）-2（21-2n）（17-2n）]
=8•

10

(21-2n)(19-2n)(17-2n)

，
则当n≥11时，8•

10

(21-2n)(19-2n)(17-2n)

＜0，
即

an-1+an+1

2

＜a_n
则存在自然数P（P可以是11），使得当n≥p时，总有

an-1+an+1

2

＜a_n．

点评：本题考查了数列通项公式的推导，构造成等差数列，再解答问题，化简非常困难，要细心，属于压轴题．