Question

已知点P（x，y）是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上的动点，用线性规划求2x+3y的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：目标函数z=2x+3y，P代表椭圆上动点，直线则代表目标函数，我们会发现，在直线移动的过程中，直线越往上移动，所代表的截距越大，那么目标函数值z也越大，反之则越小．由此我们可以得出在相切时，z分别取到最大最小值，即可得出结论．

解答： 解：目标函数z=2x+3y，P代表椭圆上动点，直线则代表目标函数，我们会发现，在直线移动的过程中，直线越往上移动，所代表的截距越大，那么目标函数值z也越大，反之则越小．
由此我们可以得出在相切时，z分别取到最大最小值，图象如下．


为了研究相切时的情况，我们可以联立椭圆和直线的方程，得到二次方程，8x²-4zx+z²-36=0
由于相切时方程有且仅有一解，所以令判别式△=0
得到16z²-32（z²-36）=0
即z²=72，此时z=±6

2

所以，z_max=6

2

，z_min=-6

2

因此目标函数2x+3y的取值范围是[-6

2

，6

2

]．

点评：本题考查椭圆方程，考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．