Question

已知点P在椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上，求点P到直线l：x+2y+15=0的最大值、最小值及P点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：利用椭圆的参数方程可以设P（3sinx，2cosx），利用三角函数求最大值、最小值．

解答： 解：设x=3sinx，y=2cosx，则点p（x，y）到直线l：x+2y+15=0的距离
d=

|3sinx+4cosx+15|

12+22

=

|5sin(x+θ)+15|

5

，（tanθ=

4

3

），
∴当sin（x+θ）=1时，d有最大值为4

5

，
此时由

sin(x+θ)=1 tanθ= 4 3

得

sinx= 3 5 cosx= 4 5

∴P（

9

5

，

8

5

）．
当sin（x+θ）=-1时，d有最小值为2

5

，
此时由

sin(x+θ)=-1 tanθ= 4 3

得

sinx=- 3 5 cosx=- 4 5

，∴p（-

9

5

，-

8

5

）．

点评：本题主要考查椭圆的参数方程及距离公式，考查三角函数的变换求最值的方法，属于中档题．