Question

双曲线C：x²-

y2

b2

=1的右焦点为F，双曲线过定点P（2，3）．
（1）求双曲线C的方程及右准线l方程；
（2）过右焦点F的直线（不过P点）与双曲线交于A，B两点，记PA，PB的斜率为k₁，k₂：若k₁+k₂＞2，求直线AB斜率的取值范围，若直线AB与直线l交于M，记PM的斜率为k₃，若k₃=0，求k₁+k₂的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）将点P代入双曲线方程，即可得到双曲线方程，从而求出右准线方程；
（2）设出直线AB的方程，联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，化简整理得到k₁+k₂=2k+4，由k₁+k₂＞2，即可得到k的范围；先求M的坐标，再由k₃=0，得到k，从而得到答案．

解答： 解：（1）将点P（2，3）代入C：x²-

y2

b2

=1，
得到4-

9

b2

=1，解得b²=3，
则双曲线C的方程为：x²-

y2

3

=1，右准线l：x=

1

2

；
（2）右焦点F（2，0），设直线AB：y=k（x-2），
联立直线方程和双曲线方程，得

y=k(x-2) 3x2-y2=3

，
消去y，得，（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=

4k2

k2-3

，x₁x₂=

4k2+3

k2-3

，
而k₁+k₂=

y1-3

x1-2

+

y2-3

x2-2

=

k(x1-2)-3

x1-2

+

k(x2-2)-3

x2-2

=2k-3（

1

x1-2

+

1

x2-2

）
=2k-3•

x1+x2-4

x1x2+4-2(x1+x2)

=2k-3•

12

-9

=2k+4，
由于k₁+k₂＞2，即有2k+4＞2，解得k＞-1，
则直线AB斜率的取值范围是：（-1，+∞）．
由于直线AB与直线l交于M，记PM的斜率为k₃，若k₃=0，
则由

x= 1 2 y=k(x-2)

得M（

1

2

，-

3

2

k），且-

3

2

k=3，解得k=-2．
故k₁+k₂=2k+4=2×（-2）+4=0．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理，同时考查直线的斜率公式，以及直线方程和交点问题，考查运算化简能力，属于综合题．