Question

4．已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{（1-{a}_{n}）（1+{a}_{n}）}$．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{1}{{b}_{n}-1}$，求证：数列{c_n}是等差数列并求通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由已知结合数列递推式求b₁，b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）由（Ⅰ）归纳得到数列{b_n}的通项公式，代入c_n=$\frac{1}{{b}_{n}-1}$，即可证得数列{c_n}是等差数，并得到其通项公式．

解答 （Ⅰ）解：∵a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，∴${b}_{1}=\frac{3}{4}$；
又b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{（1-{a}_{n}）（1+{a}_{n}）}$，
∴${b}_{2}=\frac{{b}_{1}}{（1-{a}_{1}）（1+{a}_{1}）}=\frac{\frac{3}{4}}{（1-\frac{1}{4}）（1+\frac{1}{4}）}$=$\frac{4}{5}$；
${a}_{2}=1-{b}_{2}=\frac{1}{5}$，${b}_{3}=\frac{{b}_{2}}{（1-{a}_{2}）（1+{a}_{2}）}=\frac{\frac{4}{5}}{（1-\frac{1}{5}）（1+\frac{1}{5}）}$=$\frac{5}{6}$；
${a}_{3}=1-{b}_{3}=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$，${b}_{4}=\frac{{b}_{3}}{（1-{a}_{3}）（1+{a}_{3}）}=\frac{\frac{5}{6}}{（1-\frac{1}{6}）（1+\frac{1}{6}）}$=$\frac{6}{7}$．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：${b}_{n}=\frac{n+2}{n+3}$，
∴c_n=$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=$\frac{1}{\frac{n+2}{n+3}-1}=-n-3$．
∴c_n+1-c_n=-（n+1）-3+n+3=-1．
则数列{c_n}是公差为-1的等差数列，其通项公式为c_n=-n-3．

点评 本题考查等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．