Question

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos$\frac{A+C}{2}$=$\frac{1}{2}$．
（1）若a=3，b=$\sqrt{7}$，求c的值；
（2）若f（A）=sin$\frac{A}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{A}{2}$-sin$\frac{A}{2}$）+$\frac{1}{2}$，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理表示出$\frac{A+C}{2}$，利用诱导公式化简求出B的度数，再利用余弦定理求出c的值即可；
（2）f（A）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的三角函数，由A的范围求出f（A）的范围即可．

解答 解：（1）在△ABC中，A+C=π-B，
∴cos$\frac{A+C}{2}$=cos$\frac{π-B}{2}$=sin$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{B}{2}$=$\frac{π}{6}$，即B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，得c²-3c+2=0，
解得：c=1或c=2；
（2）f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1-cosA}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA=sin（A+$\frac{π}{6}$），
由（1）A+C=π-B=$\frac{2π}{3}$，得到A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
则f（A）的范围是（$\frac{1}{2}$，1]．

点评 此题考查了余弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．