Question

19．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）求CD的长；
（Ⅱ）求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及等边三角形的性质可得AC=2CD，∠ACD=120°，由余弦定理即可解得CD的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求BD=3CD=3，由正弦定理即可解得sin∠BAD的值．

解答 （本题满分为13分）
解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，BC=2CD，
∴AC=2CD，∠ACD=120°，
∴在△ACD中，由余弦定理可得：AD²=AC²+CD²-2AC•CDcos∠ACD，
可得：7=4CD²+CD²-4CD•CDcos120°，
解得：CD=1．
（Ⅱ）在△ABC中，BD=3CD=3，
由正弦定理，可得：sin∠BAD=$\frac{BDsin∠B}{AD}$=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，数形结合思想的应用，属于基础题．