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(2011•浙江)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2
(1)证明:AP⊥BC;
(2)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.
(1)见解析    (2)存在,3
以O为原点,以AD方向为Y轴正方向,以射线OP的方向为Z轴正方向,建立空间坐标系,
则O(0,0,0),A(0,﹣3,0),B(4,2,0),C(﹣4,2,0),P(0,0,4)
(1)则=(0,3,4),=(﹣8,0,0)
由此可得=0

即AP⊥BC
(2)设,λ≠1,则=λ(0,﹣3,﹣4)
=+==(﹣4,﹣2,4)+λ(0,﹣3,﹣4)
=(﹣4,5,0),=(﹣8,0,0)
设平面BMC的法向量=(a,b,c)


令b=1,则=(0,1,
平面APC的法向量=(x,y,z)


令x=5
=(5,4,﹣3)
=0
得4﹣3=0
解得λ=
故AM=3
综上所述,存在点M符合题意,此时AM=3
练习册系列答案
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