设函数.
(Ⅰ)若在x=处的切线与直线4x+y=0平行,求a的值;
(Ⅱ)讨论函数的单调区间;
(Ⅲ)若函数的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为,证明.
(I)a=-6;(Ⅱ)①当a≥0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);②当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞);(Ⅲ)详见解析.
解析试题分析:(I)f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行,则,求导、代入此式即可得a的值;(Ⅱ)求导得,由x>0,知>0,故只需考虑的符号.当a≥0时,对任意x>0,>0恒成立,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).当a<0时,令=0,解得,由此可得函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞);(Ⅲ)因为函数的图象与x轴交于A、B两点,由(Ⅱ)知必有 .不妨设A(,0),B(,0),且,
因为函数f(x)在(,+∞)上单调递减,于是要证<0成立,只需证:即.这个不等式怎么证?这是一个很常见的问题,都是将a换掉,只留,,然后将这个不等式变形为含的不等式,然后令,再利用导数证明.
试题解析:(I)由题知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定义域为(0,+∞),
且.
又∵f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行,
∴,
解得a=-6. 4分
(Ⅱ),
由x>0,知>0.
①当a≥0时,对任意x>0,>0,
∴此时函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).
②当a<0时,令=0,解得,
当时,>0,当时,<0,
此时,函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞). 9分
(Ⅲ)不妨设A(,0),B(,0),且,由(Ⅱ)知,
于是要证<0成立,只需证:即.
∵, ①
, ②
①-②得,
即,
∴,
故只需证,
即证明,
即证明,变形为,
设,令,
则,
显然当t>0时,≥0,当且仅当t=1时,=0,
∴g(t)在(0,+∞)上是增函数.
又∵g(1)=0,
∴当t∈(0,1)时,g(t)<0总成立,命题得证. 14分
考点:1、导数的应用;2、利用导数解决不等式问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数f(x)=x3-x2+6x-a.
(1)对于任意实数x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;
(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,现要在边长为的正方形内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为(不小于)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于,绕岛行驶的路宽均不小于.
(1)求的取值范围;(运算中取)
(2)若中间草地的造价为元,四个花坛的造价为元,其余区域的造价为元,当取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知a,b为常数,a¹0,函数.
(1)若a=2,b=1,求在(0,+∞)内的极值;
(2)①若a>0,b>0,求证:在区间[1,2]上是增函数;
②若,,且在区间[1,2]上是增函数,求由所有点形成的平面区域的面积.
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已知函数(为常数),其图象是曲线.
(1)当时,求函数的单调减区间;
(2)设函数的导函数为,若存在唯一的实数,使得与同时成立,求实数的取值范围;
(3)已知点为曲线上的动点,在点处作曲线的切线与曲线交于另一点,在点处作曲线的切线,设切线的斜率分别为.问:是否存在常数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数=。
(1)当时,求函数的单调增区间;
(2)求函数在区间上的最小值;
(3)在(1)的条件下,设=+,
求证: (),参考数据:。(13分)
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