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已知a,b为常数,a¹0,函数
(1)若a=2,b=1,求在(0,+∞)内的极值;
(2)①若a>0,b>0,求证:在区间[1,2]上是增函数;
②若,且在区间[1,2]上是增函数,求由所有点形成的平面区域的面积.

(1),(2)①详见解析,②

解析试题分析:(1)求具体函数极值问题分三步,一是求导,二是求根,三是列表,关键在于正确求出导数,即;求根时需结合定义区间进行取舍,如根据定义区间舍去负根;列表时需注意导数在对应区间的符号变化规律,这样才可得出正确结论,因为导数为零的点不一定为极值点,极值点附近导数值必须要变号,(2)①利用导数证明函数单调性,首先要正确转化,如本题只需证到在区间[1,2]上成立即可,由得只需证到在区间[1,2]上,因为对称轴在区间[1,2]上单调增,因此只需证,而这显然成立,②中条件“在区间[1,2]上是增函数”与①不同,它是要求在区间[1,2]上恒成立,结合二次函数图像可得关于不等关系,再考虑,可得可行域.
试题解析:(1)解:      2分
时, ,
(舍去)     4分
时, 是减函数,
时,是增函数
所以当时,取得极小值为     6分
(2)令
①证明:二次函数的图象开口向上,
对称轴      8分
对一切恒成立.
对一切恒成立.
函数图象是不间断的,
在区间上是增函数.     10分
②解:

在区间上是增函数
恒成立.
恒成立.
     12分
在(*)(**)的条件下,
恒成立.
综上,点满足的线性约束条件是     14分
由所有点形成的平面区域为 (如图所示),
其中

的面积为.     16分
考点:求函数极值,二次函数恒成立,线性规划求面积.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.
(1)求a
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已知函数,其中.
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(Ⅱ)当时,求函数的最小值.

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已知函数.
(Ⅰ)若处相切,试求的表达式;
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已知函数,其中为常数.
(1)当时,求函数的单调递增区间;
(2)若任取,求函数上是增函数的概率.

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