已知a,b为常数,a¹0,函数.
(1)若a=2,b=1,求在(0,+∞)内的极值;
(2)①若a>0,b>0,求证:在区间[1,2]上是增函数;
②若,,且在区间[1,2]上是增函数,求由所有点形成的平面区域的面积.
(1),(2)①详见解析,②
解析试题分析:(1)求具体函数极值问题分三步,一是求导,二是求根,三是列表,关键在于正确求出导数,即;求根时需结合定义区间进行取舍,如根据定义区间舍去负根;列表时需注意导数在对应区间的符号变化规律,这样才可得出正确结论,因为导数为零的点不一定为极值点,极值点附近导数值必须要变号,(2)①利用导数证明函数单调性,首先要正确转化,如本题只需证到在区间[1,2]上成立即可,由得只需证到在区间[1,2]上,因为对称轴在区间[1,2]上单调增,因此只需证,而这显然成立,②中条件“在区间[1,2]上是增函数”与①不同,它是要求在区间[1,2]上恒成立,结合二次函数图像可得关于不等关系,再考虑,,可得可行域.
试题解析:(1)解: 2分
当时, ,
令得或(舍去) 4分
当时, 是减函数,
当时,是增函数
所以当时,取得极小值为 6分
(2)令
①证明:二次函数的图象开口向上,
对称轴且 8分
对一切恒成立.
又对一切恒成立.
函数图象是不间断的,
在区间上是增函数. 10分
②解:
即
在区间上是增函数
对恒成立.
则对恒成立.
12分
在(*)(**)的条件下,且
且恒成立.
综上,点满足的线性约束条件是 14分
由所有点形成的平面区域为 (如图所示),
其中
则
即的面积为. 16分
考点:求函数极值,二次函数恒成立,线性规划求面积.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.
(1)求a;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,其中.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;
(3)已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数.
(Ⅰ)若在x=处的切线与直线4x+y=0平行,求a的值;
(Ⅱ)讨论函数的单调区间;
(Ⅲ)若函数的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为,证明.
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如图,现要在边长为的正方形内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为(不小于)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于,绕岛行驶的路宽均不小于.
(1)求的取值范围;(运算中取)
(2)若中间草地的造价为元,四个花坛的造价为元,其余区域的造价为元,当取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是二次函数,不等式的解集是,且在点处的切线与直线平行.
(1)求的解析式;
(2)是否存在t∈N*,使得方程在区间内有两个不等的实数根?
若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
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