已知函数,.
(Ⅰ)若与在处相切,试求的表达式;
(Ⅱ)若在上是减函数,求实数的取值范围;
(Ⅲ)证明不等式: .
(Ⅰ);(Ⅱ)(Ⅲ)见解析
解析试题分析:(Ⅰ)求导数,利用与在处相切,可求的表达式;
(Ⅱ) 在上是减函数,可得导函数小于等于 在上恒成立,分离参数,利用基本不等式,可求实数的取值范围;
(Ⅲ)当x≥2时,证明 ,当x>1时,证明 ,利用叠加法,即可得到结论.
试题解析:(Ⅰ)由于与在处相切
且 得: 2分
又
3分
(Ⅱ)在上是减函数,
在上恒成立. 5分
即在上恒成立,由,
又 得 7分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得:当时:在上是减函数
当时: 即
所以 从而得到: 10分
当时:
当时:
当时:
当时:,
上述不等式相加得:
即.() 12分
考点:1、不等式的证明;2、利用导数研究函数的单调性;3、利用导数研究曲线上某点切线方程.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)对一切的x∈(0,+∞),2f(x)<g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知a,b为常数,a¹0,函数.
(1)若a=2,b=1,求在(0,+∞)内的极值;
(2)①若a>0,b>0,求证:在区间[1,2]上是增函数;
②若,,且在区间[1,2]上是增函数,求由所有点形成的平面区域的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数(为常数),其图象是曲线.
(1)当时,求函数的单调减区间;
(2)设函数的导函数为,若存在唯一的实数,使得与同时成立,求实数的取值范围;
(3)已知点为曲线上的动点,在点处作曲线的切线与曲线交于另一点,在点处作曲线的切线,设切线的斜率分别为.问:是否存在常数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图,圆形广场的圆心为O,半径为100m,并与北京路一边所在直线相切于点M.A为上半圆弧上一点,过点A作的垂线,垂足为B.市园林局计划在△ABM内进行绿化.设△ABM的面积为S(单位:),(单位:弧度).
(I)将S表示为的函数;
(II)当绿化面积S最大时,试确定点A的位置,并求最大面积.
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