已知函数,其中.
(1)当时,求函数在处的切线方程;
(2)若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;
(3)已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.
(1) (2) (3)
解析试题分析:(1) 利用导数求切线方程,关键在于理解切点的三个含义,一是在切点处的导数值为切线的斜率,二是切点在曲线上,即切点坐标满足曲线方程,三是切点在直线上,即切点坐标满足直线方程,有时这一条件用直线两点间斜率公式表示.因为所以,再根据点斜式写出切线方程. (2)利用导数研究函数单调性,往往转化为研究导函数为零时方程根的情况,本题函数在区间(1,2)上不是单调函数,就转化为在区间(1,2)上有不相等的根,可由实根分布列充要条件,也可利用变量分离结合图象求函数对应区域范围,(3)已知函数最值求参数取值范围,可从恒成立角度出发,实现等价转化,也可分类讨论求最值列等式.本题采取对恒成立较好.转化为二次函数恒成立可从四个方面研究:一是开口方向,二是对称轴,三是判别式,四是区间端点函数值的正负.
试题解析:(1)解:当时,,则,故 2分
又切点为,故所求切线方程为,即 4分
(2)由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,
由,得,因为,所以 7分令,则,故在区间(1,2)上是增函数,所以其值域为,从而的取值范围是 9分
(3),
由题意知对恒成立,即对恒成立,即 ①对恒成立 11分
当时,①式显然成立;
当时,①式可化为 ②,
令,则其图象是开口向下的抛物线,所以 13分
即,其等价于 ③ ,
因为③在时有解,所以,解得,
从而的最大值为 16分
考点:利用导数求切线方程,利用导数研究函数单调性,不等式恒成立.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,,
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)若对任意的,都有恒成立,求的最小值;
(3)设,,若,为曲线的两个不同点,满足,且,使得曲线在处的切线与直线AB平行,求证:
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知f(x)=xln x,g(x)=x3+ax2-x+2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)对一切的x∈(0,+∞),2f(x)<g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知a,b为常数,a¹0,函数.
(1)若a=2,b=1,求在(0,+∞)内的极值;
(2)①若a>0,b>0,求证:在区间[1,2]上是增函数;
②若,,且在区间[1,2]上是增函数,求由所有点形成的平面区域的面积.
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