Question

设函数F（x）=

f(x) ，f(x)≥g(x) g(x) ，f(x)＜g(x)

，其中f（x）=log₂（x²+1），g（x）=log₂（|x|+7）．
（1）在实数集R上用分段函数形式写出函数F（x）的解析式；
（2）求函数F（x）的最小值．

Answer 1

（1）F（x）=

log2(x2+1) ，log2(x2+1) ≥log2(|x|+7) log2(|x|+7) ，log2(x2+1) ＜log2(|x|+7)

，（1分）
令log₂（x²+1）≥log₂（|x|+7），得x²-|x|-6≥0，（3分）
解得：x≤-3或x≥3，（5分）∴F（x）=

log2(x2+1)，x≥3或x≤-3 log2(|x|+7)，-3＜x＜3

．（8分）
（写出F(x)=

log2(x2+1)，x2+1≥|x|+7 log2(|x|+7)，x2+1＜|x|+7

4分）
（2）当x≥3或x≤-3时，F（x）=log₂（x²+1），设u=x²+1≥10，y=log₂u在[10，+∞）上递增，所以F（x）_min=log₂10（10分）；（说明：设元及单调性省略不扣分）
同理，当-3＜x＜3，F（x）_min=log₂7；（12分）
又log₂7＜log₂10∴x∈R时，F（x）_min=log₂7．（14分）
或因为F（x）是偶函数，所以只需要考虑x≥0的情形，（9分）
当0≤x＜3，F（x）=log₂（x²+7），当x=0时，F（x）_min=log₂7；（11分）
当x≥3时，F（x）=log₂（x²+1），当x=3时，F（x）_min=log₂10；（12分）∴x∈R时，F（x）_min=log₂7．（14分）